Разрывные отображения
В большинстве вибрационных машин и устройств, применяемых на практике (добыча и переработка полезных ископаемых, химическая промышленность, металлургия, строительство, приборостроение и т.д.), колебания возбуждаются механическими дебалансными вибровозбудителями. Такие вибровозбудители представляют собой неуравновешенные роторы, приводимые во вращение электродвигателями постоянного или переменного тока.
Вибрационная машина с дебалансными вибровозбудителем
На платформе 1 массой \( m_2 \), связанной с неподвижным основанием линейным упругим элементом жесткости \( c \) (пружиной) и демпфирующим элементом с коэффициентом вязкого трения \( \mu \), установлен неуравновешенный ротор. Ротор приводится во вращение электродвигателем постоянного тока. Масса дебаланса \( m_1 \) сконцентрирована в точке, отстоящей от оси якоря электродвигателя 2 на расстояние $r$. Горизонтальное движение платформы обеспечивается направляющими 3, например, на подшипниках качения. Уравнения движения этой системы имеют вид (Блехман И.И. Вибрационная механика. - М.: Физматлит, 1994.):
\begin{gather*} (m_1+m_2)\dfrac{d^2x}{dt^2}+\mu\frac{dx}{dt}+c x=m_1r \left[\frac{d^2\varphi}{dt^2}\sin\varphi+\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\right)^2\cos\varphi\right],\\ J\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}-m_1r\left(\dfrac{d^2x}{dt^2}\sin\varphi-\mathrm{g}\cos\varphi\right)=M(i_d),\quad L\dfrac{di_d}{dt}+Ri_d+C_\omega\dfrac{d\varphi}{dt}=V_0,\\ M(i_d)=C_E\cdot i_d,\: J=J_d+J_r,\: J_r=m_1r^2, \end{gather*} здесь \( \varphi \) - угол поворота ротора, отсчитываемый от горизонтального направления; \( x \) - перемещение платформы; \( i_d \) - ток якоря двигателя; \( m_1, J_r, r \) - соответственно масса, момент инерции ротора, эксцентриситет; \( \mathrm{g} \) - ускорение свободного падения; \( m_1+m_2 \) - масса системы; \( J_d \) - момент инерции вала двигателя; \( M(i_d) \) - момент, передаваемый на ротор от электродвигателя; \( L, R, C_\omega, C_E \) - параметры двигателя; \( V_0 \) - напряжение питания.
Управление колебаниями вибрационной машины
Экспериментальная установка вибрационной машины с релейным управлением. Здесь 1,2 - вибрационная машина и
система управления; 3, 4 - осциллограф и источник питания
Функциональная схема системы
Экспериментальная установка вибрационной машины с релейным управлением. Здесь 1,2 - вибрационная машина и система управления; 3, 4 - осциллограф и источник питания
Функциональная схема системы
Математическая модель вибрационной машины с релейным автоматическим управлением
\begin{gather*} (m_1+m_2)\dfrac{d^2x}{dt^2}+\mu\dfrac{dx}{dt}+c x=m_1r \left[\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\sin\varphi+\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\right)^2\cos\varphi\right],\\ J\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}-m_1r\left(\dfrac{d^2x}{dt^2}\sin\varphi-\text{g}\cos\varphi\right)=M(i_d),\; L_d\dfrac{di_d}{dt}+Ri_d+C_\omega\dfrac{d\varphi}{dt}=V_0\;\text{K}_{\text{F}}(\xi,\eta),\\ M(i_d)=C_E\cdot i_d,\; J=J_d+m_1r^2\;, \xi = V_{\text{ref}} -\beta i_d,\; L_d=L_d^*+L_\text{F},\; R_d=R_d^*+R_\text{F}, \end{gather*} Выходной сигнал \( S_w \) релейного элемента описывается коммутационной функцией \( K_F (\xi,\eta) \): $$ K_F(\xi,\eta)= \begin{cases} 1,&\quad \mathrm{if}\: (\xi>+\chi_0) \:\text{ or}\: \left((-\chi_0\leq\xi\leq\chi_0) \:\text{ and}\: (\eta=1)\right),\\ 0,&\quad \mathrm{if}\: (\xi<-\chi_0)\:\text{ or}\: \left((-\chi_0\leq\xi\leq\chi_0) \:\text{ and}\: (\eta=0)\right) \end{cases} $$
Здесь \( \xi, \chi_0 \) - входной сигнал и гистерезис релейного элемента; \( \eta \) - предыдущее состояние
релейного элемента; \( V_{ref} \) - сигнал задания момента \( M(i_d) \) двигателя; \( \beta \) - чувствительность
датчика тока якоря; \( C_E, C_\omega \) - постоянные электрической машины; \( L_d^*, R_d^* \) - индуктивность
и сопротивление обмотки якоря; \( L_F, R_F \) индуктивность и сопротивление сглаживающего фильтра.
Если \( K_F=1 \), то силовой ключ \( S \) замкнут (силовой транзистор открыт) и если \( K_F=0 \), то ключ \( S \)
разомкнут (транзистор закрыт).
Параметры двигателя MAXON RE 25:
\( L_d^*=0.238\cdot10^{-3} \) Гн, \( R_{d}=2.18 \) Ом, \( C_\omega = 0.02353\) В·c/рад,
\(C_E = 23.5\cdot10^{-3}\) Н · м/А, \(J_d=1.08\cdot10^{-6}\) кг · м2.
Параметры системы управления и механической части:
\( V_{ref}=0.5 \) В, \( \beta=1 \) В/А, \( \chi_0=0.02 \) В, \(r=0.01 \) м, \( m_1 = 0.02 \) кг,
\( m=m_1+m_2 =0.2 \) кг, \( c=250 \) Н/м, \( \mu=102.5 \) кг/с, \( R=R_{d}+R_F=2.68 \) Ом,
\( L=L_{d}+L_F=1.238\cdot10^{-3} \) Гн, \( V_0>11.8 \) В.
Результаты численных экспериментов. Явление синхронизации
Результаты экспериментальных исследований динамических режимов на установке
Сведение многомерной динамической системы к маломерной с двумя масштабами времени
Уравнение движения:
\begin{gather*}
L\dfrac{di_d}{dt}+R\,i_d+C_\omega\, \omega (t)=V_0\,\text{K}_{\text{F}}(\xi,\eta), \quad \omega(t)=\dfrac{d\varphi}{dt}=\omega_0+\omega_m\cos(\Omega
t),\\
\omega_0 =\dfrac{V_0-V_\mathrm{ref}\, R_d/\beta}{C_\omega},\quad
\omega_m=\dfrac{\sqrt{1+T_d^2\,\Omega^2}\, R_d}
{C_\omega^2}\,\Delta M,\quad
T_d=\frac{L_d}{R_d},\\
\Delta M=0.5\,C_E\,(V_\mathrm{ref}+\chi_0-\beta\,i^{\,*}_d)/\beta,
\quad
i^{\,*}_d =
\min_{0\leqslant t\leqslant T} i_d(t).
\end{gather*}
Уравнение движения в безразмерной форме
\begin{gather*}
\dot{x}=\lambda\left(x-\mathrm{K}_\mathrm{F}(x,\eta)
+\gamma_0+\gamma_m \cos (\tau)\right),\\
\mathrm{K}_\mathrm{F}(x,\eta)=
\begin{cases}
1,\quad\text{if}\quad q-x>+\chi \quad \text{or} \quad
\left(|q-x|<\chi \quad \text{and} \quad \eta=1\right) ;\\
0,\quad\text{if}\quad q-x<-\chi\quad \text{or} \quad
\left(|q-x|<\chi \quad \text{and} \quad \eta=0\right).
\end{cases}
\end{gather*}
\begin{equation*}
\gamma_0=\dfrac{C_\omega\omega_0}{V_0},\quad
\gamma_m=\dfrac{C_\omega\omega_m}{V_0},\quad
\lambda=-\dfrac{R_d}{L_d\Omega},\quad q=\dfrac{V_\text{ref}\,R_d}{\beta
V_0},\quad \chi=\dfrac{R_d\,\chi_0}{\beta V_0}.
\end{equation*}
Построение разрывного отображения окружности
\begin{equation*}
\theta_{k+1} = F(\theta_k)
= f^- \circ f^+(\theta_k) = \theta_{k} + z_k^+ + z_k^- \bmod 2\pi,
\end{equation*}
где \( \theta_k \) - фаза в k-й момент переключения релейного элемента,
\( z_k^+ \) и \( z_k^- \) - коэффициенты заполнения импульсов.
Бифуркационная структура
