Дисциплина "Теория вероятностей и математическая статистика"
№ п/п |
Наименование раздела дисциплины |
Содержание раздела |
1. |
Вероятностное пространство. Свойства вероятности. Условные вероятности. |
Случайные события. Алгебра событий. Вероятностное пространство. Свойства вероятности. Условные вероятности. Полная группа событий. Формулы полной вероятности и Байеса. Независимые однородные испытания. Схема Бернулли. Мультиномиальная схема. |
2. |
Одномерные случайные величины |
Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей, их свойства. Классификация случайных величин: дискретные, непрерывные, смешанные. |
3. |
Многомерные случайные величины |
Совместное распределение случайных величин. Независимость случайных величин. Необходимые и достаточные условия независимости двух дискретных/непрерывных случайных величин. Условные распределения случайных величин. |
4. |
Функции от случайных величин. |
Функции от одной и двух случайных величин, их распределения. Композиция законов распределения. Независимость функций от случайных величин. |
5. |
Числовые характеристики случайных величин |
Числовые характеристики случайных величин и их свойства: квантили, моменты одной случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса), двух случайных величин (ковариация и коэффициент корреляции). Центр рассеяния и матрицы ковариаций/корреляций многомерной случайной величины. |
6. |
Основные вероятностные распределения |
Дискретные распределения: вырожденное, биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, Пуассона. Непрерывные распределения: равномерное, нормальное (гауссовское), показательное. Основные распределения, используемые в математической статистике. |
7. |
Предельные теоремы теории вероятностей |
Виды сходимости случайных величин: по распределению, по вероятности, в среднем квадратическом, почти наверное. Предельные теоремы теории вероятностей: закон больших чисел, центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. Предельные теоремы Муавра – Лапласа. Предельная теорема Пуассона. |
8. |
Выборочные методы математической статистики |
Описательная статистика: выборка и ее вариационный ряд, выборочные квантили и моменты (в т.ч. среднее, смещенная и несмещенная дисперсии и среднеквадратические отклонения, коэффициенты асимметрии и эксцесса), эмпирическая функция распределения и гистограмма. Теоремы Гливенко и Колмогорова. |
9. |
Основы теории оценивания. |
Основы теории оценивания. Точечные оценки и их свойства: состоятельность, смещенность – несмещенность, эффективность. Методы получения точечных оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия. Интервальное (доверительное) оценивание. Оценивание параметров нормального распределения. |
10. |
Основы проверки статистических гипотез |
Основы проверки статистических гипотез. Простые и сложные гипотезы. Основная и альтернативная гипотезы. Статистический критерий, статистика критерия, критическая область, ошибки первого и второго рода при принятии решений. Уровень значимости и мощность критерия. Лемма Неймана – Пирсона. Критерии согласия Колмогорова и Пирсона для проверки простой параметрической гипотезы, Фишера для проверки сложной параметрической гипотезы. Проверка гипотез о параметрах нормальных распределений в одно- и двухвыборочной задачах. |
11. |
Основы регрессионного анализа. |
Основы регрессионного анализа. Оценка параметров простой линейной регрессионной гауссовской модели. Значимость и адекватность регрессии. Прогноз явления на основе его регрессионной модели. |