Дисциплина "Математика"

Дисциплина "Математика" для специальностей БМ, ИС, ИБ, КС, ПИ, ПР:

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела
1.	Определители, матрицы и системы линейных уравнений	Матрицы. Основные понятия и определения. Действия с матрицами. Элементарные преобразования матриц. Определители. Теорема о вычислении определителя разложением по элементам строки (столбца). Свойства определителей. Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Ранг матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Системы линейных уравнений. Совместная и несовместная система уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. Метод Гаусса. Матричный способ решения решения системы линейных уравнений. Формулы Крамера. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
2.	Векторная алгебра	Векторы. Действия с векторами. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы. Коллинеарность и компланарность векторов. Скалярное произведение векторов. Векторное и смешанное произведения векторов. Свойства. Приложения.
3.	Аналитическая геометрия на плоскости	Метод координат. Декартова и полярная системы координат. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Преобразование системы координат. Параллельный перенос и поворот осей координат. Линия на плоскости. Уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Линии второго порядка на плоскости. Каноническое уравнение эллипса, исследование формы эллипса. Каноническое уравнение гиперболы, исследование формы гиперболы, асимптоты. Каноническое уравнение параболы, исследование формы параболы. Каноническое уравнение окружности. Общее уравнение линий второго порядка. Сведение общего уравнения второй степени к каноническому уравнению.
4.	Аналитическая геометрия в пространстве	Уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Уравнения прямой в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. расстояние между двумя прямыми. Пересечение прямой с плоскостью Взаиморасположение прямой и плоскости в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Поверхности в пространстве. Сфера. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Конические поверхности. Эллипсоид. Двухполостный гиперболоид. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Конус второго порядка.
5.	Линейные пространства и основы теории линейных операторов	Линейное пространство. Аксиомы. Примеры линейных пространств. Линейно – зависимые и линейно – независимые системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Разложение вектора по базису. Преобразование координат при переходе к новому базису. Евклидово пространство. Линейный оператор и его матрица. Действия над операторами и их матрицами. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
6.	Квадратичные формы	Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма. Приложения.
7.	Введение	Логическая символика. Числовая ось. Бином Ньютона. Абсолютная величина действительного числа. Определение функции и последовательности. Обратная функция. Классификация функций. Сложные функции и неявные функции. Параметрическое задание функций. Ограниченные функции и последовательности.
8.	Предел последовательности и предел функции. Бесконечно малые величины	Определение предела функции и последовательности. Ограниченные и неограниченные функции и последовательности. Бесконечно малые величины и их свойства, сравнение бесконечно малых величин. Основные теоремы о пределах – пределах суммы, произведения, частного и сложной функции. О неопределенностях при отыскании пределов и их раскрытии. Замечательные пределы и следствия. Признаки существования пределов.
9.	Непрерывность функции	Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Основные свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность функции на промежутке, свойства.
10.	Производная. Дифференциал	Определение. Физический и геометрический смысл. Уравнение касательной к функции. Правила дифференцирования. Производная сложной функции и обратной функции. Таблица производных. Гиперболические функции и их производные. Производные неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференциал функции и его свойства. Свойство инвариантности дифференциала. Геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница.
11.	Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей	Теоремы о среднем значении. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей различных видов.
12.	Формула Тейлора	Формула Тейлора для многочлена и для дифференцируемой функции. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа и Пеано. Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций. Формула Маклорена. Приложение формулы Тейлора к приближенным вычислениям и к вычислению пределов.
13.	Исследование функций и построение графиков	Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания дифференцируемой функции. Определение экстремумов. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты плоской кривой. Построение графиков функций.
14.	Неопределенный интеграл	Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Интегрирование подстановкой, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование элементарных рациональных дробей. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций.
15.	Определенный интеграл. Геометрические приложения	Интегральная сумма, определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении для определенного интеграла. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры, описанной в декартовой и полярной системах координат. Длина дуги плоской кривой и ее вычисление в декартовой и полярной системах координат и – кривой, заданной в параметрической форме. Вычисление объем тела по площади поперечных сечений, объем тела вращения.
16.	Несобственные интегралы	Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от разрывных функций. Сходимость и расходимость несобственных интегралов. Вычисление и признаки сходимости. Признаки сравнения в предельной форме.
17.	Функции многих переменных	Определение функции многих переменных. Геометрический смысл. Предел и непрерывность функций двух переменных. Свойства непрерывных функций. Частные производные и дифференциал функции двух переменных. Полная производная. Производные сложных и неявных функций. Геометрический смысл полного дифференциала, свойство инвариантности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.
18.	Обыкновенные дифференциальные уравнения	Дифференциальные уравнения первого порядка (виды уравнений). Общее и частное решение дифференциального уравнения; общий и частный интеграл. Интегральная кривая. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Задача Коши. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Понятия об особых решениях дифференциального уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общее и частное решение дифференциального уравнения; общий и частный интеграл. Интегральная кривая. Задача Коши. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнение вида y(n)=f(x) его решение. Решение уравнений, не содержащих переменной y в явном виде. Решение дифференциальных уравнений, не содержащих переменных y, y', y''... Решение дифференциальных уравнений, не содержащих явно переменной x. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Основные свойства решения линейного однородного уравнения. Линейно-зависимые и линейно-независимые функции. Определитель и теоремы Вронского. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Фундаментальная система решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами высших порядков. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Основные свойства решений неоднородного линейного дифференциального уравнения. Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Решение линейных дифференциальных уравнений методом вариации произвольной постоянной.
19.	Теория рядов	Ряды. Сумма ряда. Понятия о числовых и функциональных рядах. Область сходимости. Ряды Фурье.
20.	Кратные и криволинейные интегралы	Двойной интеграл. Определение. Геометрический смысл. Основные свойства. Теорема о среднем. Вычисление двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных координатах. Интеграл Пуассона. Тройной интеграл. Определение. Физический смысл. Основные свойства. Вычисление тройного интеграла. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Основные свойства. Вычисление. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Поверхностный интеграл. Определение. Основные свойства. Вычисление. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса.
21.	Теория поля	Скалярное поле. Поверхность уровня. Градиент. Производная по направлению. Векторное поле. Поток вектора. Дивергенция, циркуляция векторного поля Ротор векторного поля. Векторный и скалярный потенциал.
22.	Понятия об интегралах, зависящих от параметра, функции комплексного переменного, операционном исчислении	Понятия об интегралах, зависящих от параметра, интегрирование и дифференцирование интегралов по параметру. Понятие о функциях комплексного переменного и операционном исчислении, область применения.
33.	Основы регрессионного анализа.	Основы регрессионного анализа. Оценка параметров простой линейной регрессионной гауссовской модели. Значимость и адекватность регрессии. Прогноз явления на основе его регрессионной модели.
34.	Основы дискретной математики.	Элементы теории множеств и теории графов. Алгебра высказываний.
35.	Основы математического моделирования и теории надёжности.	Основные понятия математического моделирования. Оптимизационные математические модели в управлении и при принятии решений.